Question

12．已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=-f（x）=f（4-x），當x∈（0，2）時，f（x）=ln（x²-x+b）．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上有5個零點，則實數(shù)b的取值范圍是$\frac{1}{4}＜b≤1$或$b=\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 判斷函數(shù)是奇函數(shù)和函數(shù)的周期性，可得0、±2是函數(shù)f（x）的零點，將函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的零點個數(shù)為5，轉(zhuǎn)化為當x∈（0，2）時，x²-x+b＞0恒成立，且x²-x+b=1在（0，2）有一解，由此構造關于b的不等式組，解不等式組可得實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：由題意知，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（0）=0，即0是函數(shù)f（x）的零點，
因為f（x）是定義在R上且以4為周期的周期函數(shù)，
所以f（-2）=f（2），且f（-2）=-f（2），則f（-2）=f（2）=0，
即±2也是函數(shù)f（x）的零點，
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的零點個數(shù)為5，
且當x∈（0，2）時，f（x）=ln（x²-x+b），
所以當x∈（0，2）時，x²-x+b＞0恒成立，且x²-x+b=1在（0，2）有一解，
即$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4b＜0}\\{（\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}+b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4b＜0}\\{{0}^{2}-0+b-1≤0}\\{{2}^{2}-2+b-1＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$＜b≤1或b=$\frac{5}{4}$，
故答案為：$\frac{1}{4}＜b≤1$或$b=\frac{5}{4}$．

點評 本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點的綜合應用，二次函數(shù)根的分布問題，難度比較大．