Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+（1-a）x²-4ax+a，其中a為常數(shù)．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的取值集合；
（3）試討論函數(shù)y=f′（x）的圖象與函數(shù)y=$\frac{1}{x}$-（a+1）²的圖象的公切線條數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）=x²-2x-8=（x-4）（x+2），由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）f′（x）=x²+2（1-a）x-4a=（x+2）（x-2a），由此利用分類討論和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值集合．
（3）設(shè)g（x）=$\frac{1}{x}-（a+1）^{2}$，并設(shè)切點(diǎn)為[${x}_{0}，\frac{1}{{x}_{0}}-（a+1）^{2}$]，則${g}^{'}（{x}_{0}）=-\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，從而得到切線方程為y=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}+\frac{2}{{x}_{0}}$-（a+1）²，令此直線與y=f′（x）的圖象相切，得到${x}^{2}+（\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}+2-2a）x-\frac{2}{{x}_{0}}+（a-1）^{2}=0$，由根的判別式得$8{{x}_{0}}^{3}+4（1-a）{{x}_{0}}^{2}+1=0$（x₀≠0），此方程根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=f′（x）的圖象與函數(shù)y=$\frac{1}{x}-（a+1）^{2}$的圖象的公切線條數(shù)，由此能求出函數(shù)y=f′（x）的圖象與函數(shù)y=$\frac{1}{x}$-（a+1）²的圖象的公切線條數(shù)．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-{x}^{2}-8x+2$，
f′（x）=x²-2x-8=（x-4）（x+2），令f′（x）＜0，解得x∈（-2，4），
即當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-2，4）．…（3分）
（2）f′（x）=x²+2（1-a）x-4a=（x+2）（x-2a），
i：當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0在區(qū)間[0，3]上恒成立，即f（x）單調(diào)遞增，
令f（x）_max=f（3）=18-20a=3，∴a=$\frac{3}{4}$，所以a≤0不符合題意．…（4分）
ii：當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=x²+2（1-a）x-4a=（x+2）（x-2a），
因?yàn)閒（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值為3，所以f（0）=a≤3，
?當(dāng)2a≥3，即a$≥\frac{3}{2}$時(shí)，f′（x）≤0在區(qū)間[0，3]上恒成立，即f（x）單調(diào)遞減，
令f（x）_max=f（0）=3，得a=3$≥\frac{3}{2}$，即a=3符合題意，…（6分）
?當(dāng)0＜2a＜3，即0＜a＜$\frac{3}{2}$時(shí)，f′（x）≤0在區(qū)間[0，3]的解集為[0，2a]，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2a]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2a，3]單調(diào)遞增，
所以f（x）_max=max{f（0），f（3）}，又因?yàn)閒（0）=a＜3，
所以令f（3）=3，求得a=$\frac{3}{4}$＜$\frac{3}{2}$，即a=$\frac{3}{4}$符合題意，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為{3，$\frac{3}{4}$}．…（8分）
（3）設(shè)g（x）=$\frac{1}{x}-（a+1）^{2}$，并設(shè)切點(diǎn)為[${x}_{0}，\frac{1}{{x}_{0}}-（a+1）^{2}$]，則${g}^{'}（{x}_{0}）=-\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
即切線方程為y-$\frac{1}{{x}_{0}}$+（a+1）²=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
整理得y=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}+\frac{2}{{x}_{0}}$-（a+1）²，
f′（x）=x²+2（1-a）x-4a，且由題意，令此直線與y=f′（x）的圖象相切，
即x²+2（1-a）x-4a=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$x+$\frac{2}{{x}_{0}}$-（a+1）²，
整理可得${x}^{2}+（\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}+2-2a）x-\frac{2}{{x}_{0}}+（a-1）^{2}=0$，
令$△=（\frac{1}{{x}^{2}}+2-2a）^{2}-4[-\frac{2}{{x}_{0}}+（a-1）^{2}]$=$\frac{1}{{{x}_{0}}^{4}}+\frac{4（1-a）}{{{x}_{0}}^{2}}+\frac{8}{{x}_{0}}$=0，
整理得$8{{x}_{0}}^{3}+4（1-a）{{x}_{0}}^{2}+1=0$（x₀≠0），
由題意可知，此方程根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=f′（x）的圖象與函數(shù)y=$\frac{1}{x}-（a+1）^{2}$的圖象的公切線條數(shù)，…（10分）
設(shè)h（x）=8x³+4（1-a）x²+1，則h′（x）=24x²+8（1-a）x=8x（3x+1-a），
令h′（x）=0，解得x=0或x=$\frac{a-1}{3}$，
i：當(dāng)$\frac{a-1}{3}$＜0，即a＜1時(shí)，h′（x）＜0的解集為（$\frac{a-1}{3}，0$），列表如下：

x	（-∞，$\frac{a-1}{3}$）	$\frac{a-1}{3}$	（$\frac{a-1}{3}$，0）	0	（0，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由表得，當(dāng)x=時(shí)，f（x）取得極小值，
又因?yàn)閔（0）=1＞0，所以方程$8{{x}_{0}}^{3}+4（1-a）{{x}_{0}}^{2}+1=0$，（x₀≠0）有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即公切線條數(shù)為一條…（12分）
ii：當(dāng)$\frac{a-1}{3}$=0，即a=1時(shí)，h′（x）≥0恒成立，即h（x）在R上單調(diào)遞增，
又因?yàn)閔（0）=1＞0，所以方程$8{{x}_{0}}^{3}+4（1-a）{{x}_{0}}^{2}$+1=0（x₀≠0）有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即公切線條數(shù)為一條…（13分）
iii：當(dāng)$\frac{a-1}{3}$＞0，即a＞1時(shí)，h′（x）＜0的解集為（0，$\frac{a-1}{3}$），列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{a-1}{3}$）	$\frac{a-1}{3}$	（$\frac{a-1}{3}$，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由表得，當(dāng)x=0時(shí)，h（x）取得極大值；當(dāng)x=$\frac{a-1}{3}$時(shí)，h（x）取得極小值，
因?yàn)閔（0）=1＞0，h（$\frac{a-1}{3}$）=$\frac{8}{27}$（a-1）³-$\frac{4}{9}$（a-1）³+1=-$\frac{4}{27}$（a-1）³+1，
?當(dāng)h（$\frac{a-1}{3}$）=-$\frac{4}{27}$（a-1）³+1＞0，即1＜a＜$\frac{3\root{3}{2}+2}{2}$時(shí)，
方程$8{{x}_{0}}^{3}+4（1-a）{{x}_{0}}^{2}+1=0$，（x₀≠0）有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即公切線條數(shù)為一條，
?當(dāng)h（$\frac{a-1}{3}$）=-$\frac{4}{27}$（a-1）³+1=0，即a=$\frac{3\root{3}{2}+2}{2}$時(shí)，
方程$8{{x}_{0}}^{3}+4（1-a）{{x}_{0}}^{2}$+1=0，（x₀≠0）有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即公切線條數(shù)為兩條，
?當(dāng)$h（\frac{a-1}{3}）=-\frac{4}{27}（a-1）^{3}+1$＜0，即a＞$\frac{3\root{3}{2}+2}{2}$時(shí)，
方程$8{{x}_{0}}^{3}+4（1-a）{{x}_{0}}^{2}+1=0$（x₀≠0）有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)根，即公切線條數(shù)為三條，
綜上，當(dāng)a＜$\frac{3\root{3}{2}+2}{2}$時(shí)，公切線條數(shù)為一條；當(dāng)a=$\frac{3\root{3}{2}+2}{2}$時(shí)，公切線條數(shù)為兩條；
當(dāng)a＞$\frac{3\root{3}{2}+2}{2}$時(shí)，公切線條數(shù)為三條．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的取值集合的求法，考查函數(shù)y=f′（x）的圖象與函數(shù)y=$\frac{1}{x}$-（a+1）²的圖象的公切線條數(shù)的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力的要求較高，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．