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13.桌面上放著3個半徑為1的球,兩兩相切,在它們上方的空間里放入一個球使其頂點(最高處)恰好和3個球的頂點在同一個平面上,該球的半徑為( �。�
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分析 問題轉化為擺放在桌面上的三個半徑為1的球兩兩相切,在桌面與三球之間的空間中再擺入一個小球與三球和桌面都相切,我們可以分別設三個半徑為1的球的球心分別為O1,O2,O3,與桌面三個切點分別為A,B,C,構造一個正三棱柱,然后解三角形,即可得到答案.

解答 解:問題轉化為擺放在桌面上的三個半徑為1的球兩兩相切,在桌面與三球之間的空間中再擺入一個小球與三球和桌面都相切,
設三個半徑為1的球的球心分別為O1,O2,O3,與桌面三個切點分別為A,B,C,如下圖所示:

則三棱柱ABC-O1O2O3,是一個底面邊長為2,高為1的正三棱柱,
則小球球心O在底面ABC上的投影必為△ABC的中心H,
設小球半徑為R,
在△AOH中,AO=R+1,AH=233
則OH=R+122332
又R+OH=1,解得R=13,
故選:C.

點評 本題考查的知識點是棱柱的結構特征,其中標出關鍵點,構造正三棱柱是解答本題的關鍵.

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