Question

13．桌面上放著3個半徑為1的球，兩兩相切，在它們上方的空間里放入一個球使其頂點（最高處）恰好和3個球的頂點在同一個平面上，該球的半徑為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 問題轉化為擺放在桌面上的三個半徑為1的球兩兩相切，在桌面與三球之間的空間中再擺入一個小球與三球和桌面都相切，我們可以分別設三個半徑為1的球的球心分別為O₁，O₂，O₃，與桌面三個切點分別為A，B，C，構造一個正三棱柱，然后解三角形，即可得到答案．

解答 解：問題轉化為擺放在桌面上的三個半徑為1的球兩兩相切，在桌面與三球之間的空間中再擺入一個小球與三球和桌面都相切，
設三個半徑為1的球的球心分別為O₁，O₂，O₃，與桌面三個切點分別為A，B，C，如下圖所示：

則三棱柱ABC-O₁O₂O₃，是一個底面邊長為2，高為1的正三棱柱，
則小球球心O在底面ABC上的投影必為△ABC的中心H，
設小球半徑為R，
在△AOH中，AO=R+1，AH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
則OH=$\sqrt{（R+1）^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$
又R+OH=1，解得R=$\frac{1}{3}$，
故選：C．

點評 本題考查的知識點是棱柱的結構特征，其中標出關鍵點，構造正三棱柱是解答本題的關鍵．