Question

18．已知x、y∈（-2，2）且xy=1，則$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$的最小值為$\frac{16+4\sqrt{2}}{7}$．

Answer 1

分析 x、y∈（-2，2）且xy=1，可得y=$\frac{1}{x}$（x≠0）．化簡變形$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$=1+$\frac{7}{9-（4{x}^{2}+\frac{2}{{x}^{2}}）}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵x、y∈（-2，2）且xy=1，∴y=$\frac{1}{x}$（x≠0）．
則$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$=$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{1}{4{x}^{2}-1}$+1=1+$\frac{7}{9-（4{x}^{2}+\frac{2}{{x}^{2}}）}$≥1+$\frac{7}{9-2×2\sqrt{2{x}^{2}•\frac{1}{{x}^{2}}}}$=$\frac{16+4\sqrt{2}}{7}$，當且僅當x²=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y²=$\sqrt{2}$時取等號．
∴$\frac{2}{2-{x}^{2}}$+$\frac{4}{4-{y}^{2}}$的最小值為$\frac{16+4\sqrt{2}}{7}$，
故答案為：$\frac{16+4\sqrt{2}}{7}$．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．