Question

10．在幾何體ABCDE中，∠BAC=$\frac{π}{2}$，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1，設(shè)F是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面AFE⊥平面BCDE；
（2）求幾何體ABCDE的體積；
（3）求點(diǎn)C到平面AFE的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)DC⊥平面ABC推斷出DC⊥AF，同時利用AB=AC，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)推斷出AF⊥BC，AF⊥平面BCDE進(jìn)而利用直線與平面垂直的性質(zhì)可知AF⊥DF，AF⊥EF進(jìn)而可推斷出∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角，利用勾股定理可推斷出FD⊥FE，推斷出∠DFE=90°，進(jìn)而證明出平面AFD⊥平面AFE．
（2）幾何體ABCDE的體積，即四棱錐A-BCDE的體積，其底面是一個直角梯形，高為AF，代入體積公式可得答案．
（3）利用等體積，求點(diǎn)C到平面AFE的距離．

解答 （1）證明：∵DC⊥平面ABC，
∴DC⊥AF，
∵AB=AC，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴AF⊥BC，
∵DC∩BC=C，
∴AF⊥平面BCDE，
∵AF?平面AFE，
∴平面AFE⊥平面BCDE；
（2）解：幾何體ABCDE的體積V=V_A-BCDE=$\frac{1}{3}$•S_BCDE•AF=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×$（1+2）×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2；
（3）解：設(shè)點(diǎn)C到平面AFE的距離為h，則
由題意，S_△AFC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，BE=2，∴V_E-AFC=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$，
S_△AFE=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2}$=$\sqrt{3}$，
∴由等體積可得$\frac{1}{3}×\sqrt{3}h$=$\frac{2}{3}$，∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了平面與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面平行的判定等．線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來．要求考生對基本定理能熟練掌握．