Question

1．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），以右頂點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓被雙曲線的一條漸近線分為弧長(zhǎng)為1：2的兩部分，則雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意知圓的方程為（x-a）²+y²=a²，雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，通過聯(lián)立方程組，得：c²x²+2a³x=0，由此能求出結(jié)果．

解答 解：由題意知圓的方程為（x-a）²+y²=a²，
雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
∵實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓被雙曲線的一條漸近線分為弧長(zhǎng)為1：2的兩部分，可知劣弧的圓心角為120°，圓心到漸近線的距離為：$\frac{1}{2}a$．
∴$\frac{1}{2}a=\frac{\left|ab\right|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，∴3b²=a²=3c²-3a²．
∴e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的計(jì)算，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．