Question

6．F是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點，過F作某一漸近線的垂線，分別與兩條漸近線相交于A，B兩點，若$\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}=\frac{1}{2}$，則雙曲線的離心率為$\frac{2}{3}\sqrt{3}$或2．

Answer 1

分析 運用兩漸近線的對稱性和條件，可得A為BF的中點，由垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得Rt△OAB中，∠AOB=$\frac{π}{3}$，求得漸近線的斜率，運用離心率公式即可得到．

解答 解：當b＞a＞0時，由$\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}=\frac{1}{2}$，可知A為BF的中點，
由∠AOF=∠AOB=∠BOF'=60°，可得$\frac{|OA|}{|OB|}$=$\frac{1}{2}$，
則Rt△OAB中，∠AOB=$\frac{π}{3}$，
漸近線OB的斜率k=$\sqrt{3}$，
即離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+3}$=2．
同理當a＞b＞0時，可得e=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$；
故答案為：$\frac{2}{3}\sqrt{3}$或2．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應用，主要是離心率的求法，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．