Question

7．已知函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=x，則下列三個結(jié)論：
①函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{[g（x）]^{2}}$是奇函數(shù)；
②設(shè)函數(shù)m（x）=f（x）g（x），則存在常數(shù)T＞0，對任意的實(shí)數(shù)x，恒有m（x+T）=m（x）成立；
③若函數(shù)f（x）圖象的兩條相互垂直的切線交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可能為（$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
其中正確結(jié)論的序號是①．

Answer 1

分析 ①根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷，
②根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)進(jìn)行判斷，
③求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷．

解答 解：①函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{[g（x）]^{2}}$=$\frac{sinx}{{x}^{2}}$，則函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，
則h（-x）=$\frac{-sinx}{{x}^{2}}$=-h（x），則函數(shù)h（x）是奇函數(shù)，正確；故①正確，
②函數(shù)m（x）=f（x）g（x）=xsinx，則函數(shù)m（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱性，則函數(shù)不是周期函數(shù)，
故存在常數(shù)T＞0，對任意的實(shí)數(shù)x，恒有m（x+T）=m（x）成立錯誤，故②錯誤；
③若由f（x）=sinx，得f′（x）=cosx，若l₁，l₂是函數(shù)f（x）=sinx圖象上的任意兩條相互垂直的切線，
設(shè)這兩個切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，則cosx₁cosx₂=-1．
不妨設(shè)cosx₁≤cosx₂，則必有cosx₁=-1，cosx₂=1，故切點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于kπ，縱坐標(biāo)為0．
由于所給選項縱坐標(biāo)比較小，故這兩條切線必為相鄰兩條互相垂的切線．
不妨設(shè)切線的斜率等于1的切線對應(yīng)的一個切點(diǎn)為A（0，0），則另一個切線的斜率為-1．
1）當(dāng)另一個切點(diǎn)為B（-π，0），則兩條切線的方程分別為y=x、y=-1（x+π），
可得此時這兩條切線的交點(diǎn)為（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$）．
2）當(dāng)另一個切點(diǎn)為C（π，0），則兩條切線的方程分別為y=x、y=-1（x-π），
可得此時這兩條切線的交點(diǎn)為（$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
3）若斜率等于1的切線對應(yīng)的一個切點(diǎn)為E（2π，0），當(dāng)另一個切點(diǎn)為C（π，0），
則兩條切線的方程分別為y=x-2π、y=-1（x-π），
可得此時這兩條切線的交點(diǎn)為（$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{2}$）．故③錯誤，
故答案為：①

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．．