Question

7．已知函數f（x）=sinx，g（x）=x，則下列三個結論：
①函數h（x）=$\frac{f（x）}{[g（x）]^{2}}$是奇函數；
②設函數m（x）=f（x）g（x），則存在常數T＞0，對任意的實數x，恒有m（x+T）=m（x）成立；
③若函數f（x）圖象的兩條相互垂直的切線交于P點，則點P的坐標可能為（$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
其中正確結論的序號是①．

Answer 1

分析 ①根據函數奇偶性的定義進行判斷，
②根據函數奇偶性和周期性的性質進行判斷，
③求函數的導數，根據導數的幾何意義進行判斷．

解答 解：①函數h（x）=$\frac{f（x）}{[g（x）]^{2}}$=$\frac{sinx}{{x}^{2}}$，則函數的定義域為{x|x≠0}，
則h（-x）=$\frac{-sinx}{{x}^{2}}$=-h（x），則函數h（x）是奇函數，正確；故①正確，
②函數m（x）=f（x）g（x）=xsinx，則函數m（x）為偶函數，圖象關于y軸對稱性，則函數不是周期函數，
故存在常數T＞0，對任意的實數x，恒有m（x+T）=m（x）成立錯誤，故②錯誤；
③若由f（x）=sinx，得f′（x）=cosx，若l₁，l₂是函數f（x）=sinx圖象上的任意兩條相互垂直的切線，
設這兩個切點的橫坐標分別為x₁、x₂，則cosx₁cosx₂=-1．
不妨設cosx₁≤cosx₂，則必有cosx₁=-1，cosx₂=1，故切點的橫坐標等于kπ，縱坐標為0．
由于所給選項縱坐標比較小，故這兩條切線必為相鄰兩條互相垂的切線．
不妨設切線的斜率等于1的切線對應的一個切點為A（0，0），則另一個切線的斜率為-1．
1）當另一個切點為B（-π，0），則兩條切線的方程分別為y=x、y=-1（x+π），
可得此時這兩條切線的交點為（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$）．
2）當另一個切點為C（π，0），則兩條切線的方程分別為y=x、y=-1（x-π），
可得此時這兩條切線的交點為（$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
3）若斜率等于1的切線對應的一個切點為E（2π，0），當另一個切點為C（π，0），
則兩條切線的方程分別為y=x-2π、y=-1（x-π），
可得此時這兩條切線的交點為（$\frac{3π}{2}$，-$\frac{π}{2}$）．故③錯誤，
故答案為：①

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，難度較大．．