Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+1）上均為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)x≥1，討論曲線y=f（x）與曲線y=g（x）+m公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=2x-$\frac{8}{x}$，求出切線的斜率．繼而得到切線方程．
（Ⅱ）因?yàn)閒'（x）=$\frac{2（x+2）（x-2）}{x}$，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，又由題意知有含參數(shù)的單調(diào)區(qū)間，繼而求出參數(shù)范圍．
（Ⅲ）當(dāng)x≥1時(shí)，曲線y=f（x）與曲線y=g（x）+m公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)方程2x²-8lnx-14x=m根的個(gè)數(shù)．轉(zhuǎn)化思路，對(duì)曲線y=f（x）與曲線y=g（x）+m公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)討論．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=2x-$\frac{8}{x}$，所以切線的斜率k=f'（1）=-6…（2分）
又f（1）=1，故所求切線方程為y-1=-6（x-1），即y=-6x+7 …（4分）
（Ⅱ）因?yàn)閒'（x）=$\frac{2（x+2）（x-2）}{x}$，又x＞0，所以當(dāng)x＞2時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0．即f（x）在（2，+∞）上遞增，在（0，2）上遞減…（6分）
又g（x）=-（x-7）²+49，所以g（x）在（-∞）上遞增，在（7，+∞）上遞減…（7分）
欲f（x）與g（x）在區(qū)間（a，a+1）上均為增函數(shù)，則$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a+1≤7}\end{array}\right.$，
解得2≤x≤6…（8分）
（Ⅲ）當(dāng)x≥1時(shí)，曲線y=f（x）與曲線y=g（x）+m公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)方程2x²-8lnx-14x=m根的個(gè)數(shù)，
令h（x）=2x²-8lnx-14x，方程即為h（x）=m．
又$h'（x）=4x-\frac{8}{x}-14=\frac{2（x-4）（2x+1）}{x}$，且x＞0，所以當(dāng)x＞4時(shí)，h'（x）＞0；
當(dāng)0＜x＜4時(shí)，h'（x）＜0，即h（x）在（4，+∞）上遞增，在（0，4）上遞減．
故h（x）在x=4處取得最小值，且h（1）=-12   …（10分）
所以對(duì)曲線y=f（x）與曲線y=g（x）+m公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論如下：
當(dāng)m∈（-∞，-16ln2-24）時(shí)，有0個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)m=-16ln2-24或m∈（-12，+∞）時(shí)，有1個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)m∈（-16ln2-24，-12]時(shí)，有2個(gè)公共點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍等問題，屬于難題，在高考中常以壓軸題出現(xiàn)．