Question

20．在△ABC中，若（a+b+c）（b+c-a）=bc，且sinA=2sinBcosC，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 通過（a+b+c）（b+c-a）=bc化簡整理得b²+bc+c²=a²，結(jié)合余弦定理求得cosA，進而求得A，把A代入sinA=2sinBcosC中化簡整理求得B、C，即可判斷三角形的形狀．

解答 解：在△ABC中，∵（a+b+c）（b+c-a）=bc，
∴[（b+c）+a][（b+c）-a]=bc，
∴（b+c）²-a²=bc，
b²+2bc+c²-a²=bc，
b²+c²-a²=-bc，
根據(jù)余弦定理有cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∴A=120°，
∵sinA=2sinBcosC，可得：sin（B+C）=2sinBcosC，
∴sin（B-C）=0，可得B=C，
∵A=120°，
∴B=C=30°．
∴△ABC是等腰三角形．

點評 本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用．要熟練記憶余弦定理的公式及其變形公式．