Question

9．已知函數(shù)f（x）=aln x-ax-1（a∈R）．
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x₁，x₂∈[1，+∞），比較ln（x₁x₂）與x₁+x₂-2的大�。�

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=-1代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后分別由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求得函數(shù)的單調(diào)期間；
（2）由（1）中求得的函數(shù)的單調(diào)性，可知當(dāng)a=-1，x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥f（1），即-ln x+x-1≥0，得到0≤ln x₁≤x₁-1，0≤ln x₂≤x₂-1，作和后可得
0≤ln（x₁x₂）≤x₁+x₂-2，由此可得ln（x₁x₂）與x₁+x₂-2的大�。�

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f′（x）=$-\frac{1}{x}+1$（x＞0），
由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
（2）由（1）可知，當(dāng)a=-1，x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥f（1），即-ln x+x-1≥0，
∴0≤ln x≤x-1對(duì)一切x∈[1，+∞）恒成立．
若x₁，x₂∈[1，+∞），則0≤ln x₁≤x₁-1，0≤ln x₂≤x₂-1，
∴0≤ln x₁+ln x₂≤x₁+x₂-2，即0≤ln（x₁x₂）≤x₁+x₂-2．
故當(dāng)x₁=x₂=1時(shí)，ln（x₁x₂）=x₁+x₂-2；
當(dāng)x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁，x₂不全為1時(shí)，ln（x₁x₂）＜x₁+x₂-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，該類(lèi)問(wèn)題中函數(shù)不等式的證明，往往要用到前一問(wèn)中的結(jié)論，屬中檔題．