Question

4．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，其前n項和為S_n=n²．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若b_n=$\frac{{S}_{n}+156}{{a}_{n}+1}$，求數(shù)列{b_n}中的最小項及取得最小項時n的值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²，可得當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n．
（2）b_n=$\frac{{S}_{n}+156}{{a}_{n}+1}$=$\frac{{n}^{2}+156}{2n}$=$\frac{1}{2}（n+\frac{156}{n}）$，可得當(dāng)n≤12時，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減；當(dāng)n≥13時，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增．即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=n²，∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
當(dāng)n=1時，上式也成立．
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=$\frac{{S}_{n}+156}{{a}_{n}+1}$=$\frac{{n}^{2}+156}{2n}$=$\frac{1}{2}（n+\frac{156}{n}）$，
當(dāng)n≤12時，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減；當(dāng)n≥13時，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增．
而b₁₂=$\frac{25}{2}$=b₁₃．
∴當(dāng)n=12或13時，數(shù)列{b_n}取得最小項$\frac{25}{2}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．