【題目】已知正方體的棱長為,點(diǎn)EF,G分別為棱AB,,的中點(diǎn),下列結(jié)論中,正確結(jié)論的序號是___________.

①過E,FG三點(diǎn)作正方體的截面,所得截面為正六邊形;

平面EFG;

平面;

④異面直線EF所成角的正切值為;

⑤四面體的體積等于.

【答案】①③④

【解析】

根據(jù)公理3,作截面可知正確;根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系可知不正確;根據(jù)線面垂直的判定定理可知正確;根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)公式可知正確;用正方體體積減去四個正三棱錐的體積可知不正確.

延長EF分別與的延長線交于N,Q,連接GNH,設(shè)HG的延長線交于P,連接PQ,交BCM,連FH,HG,GI,IM,ME,,

如圖:

則截面六邊形EFHGIM為正六邊形,故①正確:

因?yàn)?/span>HG相交,故與平面EFG相交,所以②不正確:

(三垂線定理),

(三垂線定理),

AC相交,

所以平面,故③正確;

為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,

,

,,

所以,

所以,

所以,

所以異面直線EF的夾角的正切值為,故④正確;

因?yàn)樗拿骟w的體積等于正方體的體積減去四個正三棱錐的體積,

即為,故⑤不正確.

故答案為:①③④

練習(xí)冊系列答案
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