Question

5．平面內(nèi)給定三個(gè)向量$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow$=（-1，2），$\overrightarrow{c}$=（4，1）
（1）求滿足$\overrightarrow{a}$=m$\overrightarrow$+n$\overrightarrow{c}$的實(shí)數(shù)m，n；
（2）（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）∥（2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$），求實(shí)數(shù)k；
（3）設(shè)$\overrightarrowbafmg2y$=（x，y）滿足（$\overrightarrowhudx5en$-$\overrightarrow{c}$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），且|$\overrightarrowygyurx8$-$\overrightarrow{c}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，求向量$\overrightarrowhgpfbvk$的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由已知得（3，2）=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n，2m+n），由此能求出m，n．
（2）由已知得2×（3+4k）-（-5）×（2+k）=0，由此能求出k．
（3）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{4（x-4）-2（y-1）=0}\\{（x-4）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，由此能求出$\overrightarrowf70trnh$．

解答 解：（1）∵平面內(nèi)給定三個(gè)向量$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow$=（-1，2），$\overrightarrow{c}$=（4，1）
$\overrightarrow{a}$=m$\overrightarrow$+n$\overrightarrow{c}$，∴（3，2）=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n，2m+n）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+4n=3}\\{2m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{5}{9}}\\{n=\frac{8}{9}}\end{array}\right.$．
（3）∵（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）∥（2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$），
又$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$=（3+4k，2+k），
2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$=（-5，2），
∴2×（3+4k）-（-5）×（2+k）=0．
∴k=-$\frac{16}{13}$．
（4）∵$\overrightarrowyqkludg-\overrightarrow{c}$=（x-4，y-1），$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=（2，4），
又（$\overrightarrowj2kxnwm$-$\overrightarrow{c}$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），且|$\overrightarrowlqoip3w$-$\overrightarrow{c}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4（x-4）-2（y-1）=0}\\{（x-4）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{9}{2}$，y=2，或x=$\frac{7}{2}$，y=0．
∴$\overrightarrow28qviyh$=（$\frac{9}{2}，2$）或$\overrightarrowup7sbkp$=（$\frac{7}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量平行和向量相等的性質(zhì)的合理運(yùn)用．