Question

15．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中點．
（1）求證：BD₁∥平面C₁DE；
（2）在邊AD上能否確定一點，使得平面BD₁G⊥平面C₁DE？

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BD₁∥平面C₁DE．
（2）設(shè)AD上存在點G（t，0，0），0≤t≤2，使得平面BD₁G⊥平面C₁DE，求出平面BD₁G的法向量和平面C₁DE的法向量，由向量法推導(dǎo)出故在邊AD上不能確定一點G，使得平面BD₁G⊥平面C₁DE．

解答 證明：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
則B（2，2，0），D₁（0，0，2），C₁（0，2，2），D（0，0，0），E（1，2，0），
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，2），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{DE}$=（1，2，0），
設(shè)平面C₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=x+2y=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{n}$=-4+2+2=0，
∵BD₁?平面C₁DE，∴BD₁∥平面C₁DE．
解：（2）設(shè)AD上存在點G（t，0，0），0≤t≤2，使得平面BD₁G⊥平面C₁DE，
$\overrightarrow{BG}$=（t-2，-2，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，2），
設(shè)平面BD₁G的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BG}=（t-2）a-2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{D}_{1}}=-2a-2b+2c=0}\end{array}\right.$取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\frac{t-2}{2}$，$\frac{t}{2}$），
∵平面BD₁G⊥平面C₁DE，平面C₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=2-$\frac{t-2}{2}$+$\frac{t}{2}$=0，整理得3=0，不成立，
故在邊AD上不能確定一點G，使得平面BD₁G⊥平面C₁DE．

點評 本題考查線面平行的證明，考查滿足面面垂直的點的確定與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．