Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$．
（I）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可作出函數(shù)f（x）的圖象；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的圖象即可求函數(shù)f（x）的最大值與最小值．

解答 解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞），
則f（-x）=$\frac{-x}{1+{x}^{2}}$=-$\frac{x}{1+{x}^{2}}$=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1+{x}^{2}-2{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
由f′（x）＞0得-1＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得x＞1或x＜-1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值為f（1）=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得極小值為f（-1）=-$\frac{1}{2}$，
則作出函數(shù)f（x）的圖象；
（Ⅲ）由圖象知，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值為f（1）=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得最小值為f（-1）=-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，最值的判斷和求解，考查函數(shù)的性質(zhì)．