Question

13．函數(shù)y=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{3+2x{-x}^{2}}}$的定義域為[-1，3]，值域為[$\frac{1}{4}$，1]．

Answer 1

分析 化簡3+2x-x²=-（x+1）（x-3），從而求得函數(shù)的定義域，再由二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質求函數(shù)的值域．

解答 解：∵3+2x-x²=-（x+1）（x-3）≥0，
∴-1≤x≤3，
∴函數(shù)y=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{3+2x{-x}^{2}}}$的定義域為[-1，3]；
∵x∈[-1，3]，
∴0≤3+2x-x²≤4，
∴0≤$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$≤2，
∴$\frac{1}{4}$≤${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{3+2x{-x}^{2}}}$≤1，
∴函數(shù)y=${（\frac{1}{2}）}^{\sqrt{3+2x{-x}^{2}}}$的值域為[$\frac{1}{4}$，1]．
故答案為：[-1，3]，[$\frac{1}{4}$，1]．

點評 本題考查了復合函數(shù)的定義域與值域的求法．