Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy，已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點C（3，$\frac{7}{4}$），其左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且F₂（3，0），長軸的左右兩個端點為A，B．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)點C關(guān)于原點的對稱點為D．
①若點P在橢圓E上，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由；
②若N為直線x=$\frac{16}{3}$上一點（在x軸上方），AN與橢圓交于點M，且$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，記$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MN}$，求λ．

Answer 1

分析 （1）由題意c=3，$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{\frac{49}{16}}{^{2}}$=1，求解a，b，則橢圓的方程可求；
（2）②設(shè)出P點的坐標(biāo)，寫出直線CP和DP的斜率，由點P在橢圓上得到P點橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，代入斜率乘積的表達式整理可得直線CP和DP的斜率之積為定值
（2）②由$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，可得（x+4）（3-x）-y²；=0，即y²=-x²-x+12，利用M滿足$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$，求出M的橫坐標(biāo)，根據(jù)$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MN}$，可得$\frac{20}{9}$+4=λ（$\frac{16}{3}$-$\frac{20}{9}$），即可求出λ．

解答 解：（1）由題意c=3，$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{\frac{49}{16}}{^{2}}$=1，
∴a=4，b=$\sqrt{7}$，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$；
（2）①依題意得D在橢圓E上．
CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在．
設(shè)P（x，y），則K_CP=$\frac{y-\frac{7}{4}}{x-3}$，K_DP=$\frac{y+\frac{7}{4}}{x+3}$
∴K_CP•K_DP=$\frac{y-\frac{7}{4}}{x-3}$•$\frac{y+\frac{7}{4}}{x+3}$①
又∵點P在橢圓E上，
∴$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$，∴x²=16-$\frac{16}{7}$y²，代入①得，K_CP•K_DP=-$\frac{7}{16}$
∴CP和DP的斜率K_CP和K_DP之積為定值-$\frac{7}{16}$；
②設(shè)M（x，y），由$\overrightarrow{AN}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，可得（x+4）（3-x）-y²=0，
∴y²=-x²-x+12，
∴M滿足$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$，
消去y，可得9x²+16x-80=0，
解得x=$\frac{20}{9}$或x=-4（舍去）
∵$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MN}$，
∴$\frac{20}{9}$+4=λ（$\frac{16}{3}$-$\frac{20}{9}$），
∴λ=2．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．