Question

14．若實(shí)數(shù)x₀滿足等式f（x）=x，則稱x₀是函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)已知函數(shù)g（x）=$\sqrt{x-2}$+m，且g（x）恰有兩個(gè)不等的不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$\frac{7}{4}$，2]．

Answer 1

分析 若函數(shù)g（x）=$\sqrt{x-2}$+m恰有兩個(gè)不等的不動(dòng)點(diǎn)，即方程$\sqrt{x-2}$+m=x有兩個(gè)根，即函數(shù)h（x）=x-$\sqrt{x-2}$的圖象與直線y=m有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而可得答案．

解答 解：若函數(shù)g（x）=$\sqrt{x-2}$+m恰有兩個(gè)不等的不動(dòng)點(diǎn)，
即方程$\sqrt{x-2}$+m=x有兩個(gè)根，
即函數(shù)h（x）=x-$\sqrt{x-2}$的圖象與直線y=m有兩個(gè)交點(diǎn)，
令h′（x）=$\frac{2\sqrt{x-2}-1}{2\sqrt{x-2}}$=0，則x=$\frac{9}{4}$，
當(dāng)x∈[2，$\frac{9}{4}$）時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈（$\frac{9}{4}$，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)x=$\frac{9}{4}$時(shí)，函數(shù)h（x）取最小值$\frac{7}{4}$，
又由x=2時(shí)，h（2）=2，
故函數(shù)h（x）=x-$\sqrt{x-2}$的圖象與直線y=m有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m∈（$\frac{7}{4}$，2]，
故答案為：（$\frac{7}{4}$，2]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根，本題轉(zhuǎn)化比較困難，屬于中檔題目．