Question

16．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點（-2，0），且不等式2x≤f（x）≤$\frac{1}{2}$x²+2對一切實數(shù)x都成立．
（1）求f（2）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）當(dāng)x＜2時，不等式4f（x）＞xm-1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可令x=2，可得4≤f（2）≤4，即有f（2）=4；
（2）通過圖象過一點得到a、b、c一關(guān)系式，由f（2）=4，又可得一關(guān)系式，再將b、c都有a表示．不等式2x≤f（x）≤$\frac{1}{2}$x²+2對一切實數(shù)x都成立可轉(zhuǎn)化成兩個一元二次不等式恒成立，即可解得；
（3）由題意可得mx＜x²+4x+5，在x＜2時恒成立，對x討論，x=0，x＜0，0＜x＜2，運用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）∵不等式2x≤f（x）≤$\frac{1}{2}$x²+2對一切實數(shù)x都成立，
∴當(dāng)x=2時也成立，即4≤f（2）≤4，
即有f（2）=4；
（2）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點（-2，0），
可得4a-2b+c=0 ①，
又f（2）=4，即4a+2b+c=4 ②．
由①②求得 b=1，4a+c=2，
∴f（x）=ax²+x+2-4a，
∴2x≤ax²+x+2-4a≤$\frac{1}{2}$x²+2，
即$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-x+2-4a≥0}\\{（a-\frac{1}{2}）{x}^{2}+x-4a≤0}\end{array}\right.$恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{△}_{1}=1-4a（2-4a）≤0}\\{a-\frac{1}{2}＜0}\\{{△}_{2}=1-4（a-\frac{1}{2}）•（-4a）≤0}\end{array}\right.$．
求得a=$\frac{1}{4}$，∴c=2-4a=1，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²+x+1；
（3）當(dāng)x＜2時，不等式4f（x）＞xm-1恒成立，
即為mx＜x²+4x+5，在x＜2時恒成立，
當(dāng)x=0時，0＜5顯然成立；
當(dāng)x＜0時，m＞x+$\frac{5}{x}$+4恒成立，
由x+$\frac{5}{x}$+4≤-2$\sqrt{x•\frac{5}{x}}$+4=4-2$\sqrt{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=-$\sqrt{5}$取得等號，
即有m＞4-2$\sqrt{5}$；
當(dāng)0＜x＜2時，m＜x+$\frac{5}{x}$+4恒成立，
由x+$\frac{5}{x}$+4在（0，2）遞減，即有x+$\frac{5}{x}$+4＞$\frac{17}{2}$，
即為m≤$\frac{17}{2}$，
綜上可得m的范圍是（4-2$\sqrt{5}$，$\frac{17}{2}$]．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，賦值法（特殊值法）可以使問題變得比較明朗，它是解決這類問題比較常用的方法．