Question

11．設(shè)a、b∈R，方程x²+ax+b=0的兩個(gè)復(fù)根與原點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求實(shí)數(shù)a、b之間的關(guān)系及b的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得兩個(gè)復(fù)根共軛，即關(guān)于x軸對(duì)稱，又與原點(diǎn)組成正三角形，則每個(gè)根與x軸的夾角為30度或150度，得到|$\frac{\sqrt{4b-{a}^{2}}}{a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，化簡(jiǎn)即可．

解答 解：因?yàn)閮蓚�(gè)復(fù)根共軛，即關(guān)于x軸對(duì)稱．
又與原點(diǎn)組成正三角形，則每個(gè)根與x軸的夾角為30度或150度，其正切為$\frac{\sqrt{3}}{3}$或-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
而復(fù)根為x=$\frac{1}{2}$（-a±i$\sqrt{4b-{a}^{2}}$），
所以有|$\frac{\sqrt{4b-{a}^{2}}}{a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即4b-a²=$\frac{1}{3}$a²，
即b=$\frac{1}{3}$a²，
因?yàn)閍≠0，否則a=b=0，兩個(gè)復(fù)根都為0，不符．
所以有b＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了共軛復(fù)數(shù)和復(fù)根的求法，屬于基礎(chǔ)題．