Question

2．已知命題p：實數(shù)t滿足（t-a）（t-2a）＜0（a＞0），命題q：方程$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{t-6}$=1表示雙曲線
（1）若a=1且p為假命題，求實數(shù)t的取值范圍；
（2）若p是q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分別求出p，q成立的等價條件，利用p為假命題，即可求實數(shù)t的取值范圍；
（2）利用p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若a=1，則不等式為（t-1）（t-2）＜0，即1＜t＜2，
p：t∈（1，2），
若方程$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{t-6}$=1表示雙曲線，
則t-6＜0，即t＜6．
q：t∈（-∞，6），
若p為假命題，則t≥2或t≤1，
則實數(shù)t的取值范圍{t|t≥2或t≤1}．
（2）（t-a）（t-2a）＜0（a＞0），
得a＜t＜2a，
即p：a＜t＜2a，（a＞0），q：t∈（-∞，6），
若p是q的充分，
則0＜2a≤6，則0＜a≤3，
即實數(shù)a的取值范圍是（0，3]．

點評 本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵，