Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^x-2x+a有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的最值，由函數(shù)的最大值大于或等于零（或函數(shù)的最小值小于或等于零）得出a的取值范圍．

解答 解：f′（x）=e^x-2，可得f′（x）=0的根為x₀=ln2，
 當(dāng)x＜ln2時(shí)，f′（x）＜0，可得函數(shù)在區(qū)間（-∞，ln2）上為減函數(shù)；
當(dāng)x＞ln2時(shí)，f′（x）＞0，可得函數(shù)在區(qū)間（ln2，+∞）上為增函數(shù)，
∴函數(shù)y=f（x）在x=ln2處取得極小值f（ln2）=2-2ln2+a，
并且這個(gè)極小值也是函數(shù)的最小值，
由題設(shè)知函數(shù)y=f（x）的最小值要小于或等于零，即2-2ln2+a≤0，可得a≤2ln2-2，
故答案為：（-∞，2ln2-2]．

點(diǎn)評(píng) 利用導(dǎo)數(shù)工具討論函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)的值域和最值的常用方法，本題可以根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)，來幫助對(duì)題意的理解．