Question

18．如圖，用一根長為10m繩索圍成了一個(gè)圓心角小于x且半徑不超過3m的扇形場地，設(shè)扇形的半徑為xm，面積為Scm²．
（1）寫出S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求出該函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)半徑x和圓心角α分別是多少時(shí)，所圍扇形場地的面積S最大，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)扇形的弧長為l，則l=10-2x，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤3}\\{0＜10-2x＜πx}\end{array}\right.$，可得函數(shù)解析式和定義域；
（2）由（1）和基本不等式可得S=（5-x）x≤（$\frac{5-x+x}{2}$）²=$\frac{25}{4}$，由等號成立的條件可得．

解答 解：（1）設(shè)扇形的弧長為l，則l=10-2x，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤3}\\{0＜10-2x＜πx}\end{array}\right.$，
解得$\frac{10}{π+2}$＜x≤3，
∴S=（5-x）x=-x²+5x，$\frac{10}{π+2}$＜x≤3；
（2）由（1）和基本不等式可得S=（5-x）x≤（$\frac{5-x+x}{2}$）²=$\frac{25}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)5-x=x即x=$\frac{5}{2}$時(shí)取等號，此時(shí)l=5，圓心角α=$\frac{l}{x}$=2，
∴當(dāng)半徑x和圓心角α分別為$\frac{5}{2}$和2時(shí)，所圍扇形場地的面積S最大，且最大值$\frac{25}{4}$

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及扇形的面積公式和基本不等式求最值，屬基礎(chǔ)題．