Question

9．在△ABC中，BC=$\sqrt{7}$，∠A=60°．
（Ⅰ）若cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求AC的長；
（Ⅱ）若AB=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinB，由正弦定理即可求AC的值．
（2）由余弦定理得：AC²-2AC-3=0，即可解得AC，利用三角形面積公式即可求值得解．

解答 解：（1）在△ABC中，BC=$\sqrt{7}$，∠A=60°．
因為cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，則sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，…（2分）
由正弦定理得：$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，即$\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，得AC=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，…（5分）
（2）在△ABC中，BC=$\sqrt{7}$，∠A=60°，AB=2．
由余弦定理得：cos∠A=$\frac{A{C}^{2}+4-7}{2×2×AC}$=$\frac{1}{2}$，則AC²-2AC-3=0，
得AC=3．…（8分）
所以△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．…（10分）

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．