Question

7．（文科班選做此題）已知a＞0，命題p：?x≥1，x-$\frac{a}{x}$+2≥0恒成立，命題q：點P（1，1）在圓（x-a）²+（y-a）²=4的外部，是否存在正數(shù)a，使得p∨q為真命題；p∧q假命題，若存在，請求出a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出命題的成立的等價條件，根據(jù)復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答 解：若：?x≥1，x-$\frac{a}{x}$+2≥0，即x+2≥$\frac{a}{x}$，
即x²+2x≥a在x≥1時成立，
設(shè)f（x）=x²+2x，則f（x）=（x+1）²-1，
當(dāng)x≥1時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）的最小值為f（1）=1+2=3，
則a≤3，即p：a≤3
若點P（1，1）在圓（x-a）²+（y-a）²=4的外部，
則（1-a）²+（1-a）²＞4，
即（a-1）²＞2，即a＞1+$\sqrt{2}$或a＜1-$\sqrt{2}$，
若存在正數(shù)a，使得p∨q為真命題；p∧q假命題，
則p，q為一真一假，
則此時p：0＜a≤3，q：a＞1+$\sqrt{2}$，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤3}\\{0＜a≤1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得0＜a≤1+$\sqrt{2}$，
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞3}\\{a＞1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得a＞3，
綜上0＜a≤1+$\sqrt{2}$或a＞3．

點評 本題主要考查復(fù)合命題真假的應(yīng)用，根據(jù)條件求出命題的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．