Question

12．（1）設(shè)x，y，z∈R，且滿足：x²+y²+z²=1，x+2y+3z=$\sqrt{14}$，求x+y+z的值；
（2）設(shè)不等式|x-2|＜a（a∈N^*）的解集為A，且$\frac{3}{2}$∈A，$\frac{1}{2}$∉A．求函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-2|的最小值．

Answer 1

分析 （1）14=（x²+y²+z²）（1+4+9）=（x+2y+3z）²，結(jié)合柯西不等式，即可求x+y+z的值；
（2）由不等式|x-2|＜a的解集為A，求出a=1，把a(bǔ)=1代入函數(shù)表達(dá)式，即可求出函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-2|的最小值．

解答 解：（1）由題14=（x²+y²+z²）（1+4+9）=（x+2y+3z）²，
但由柯西不等式，（x²+y²+z²）（1+4+9）≥（x+2y+3z）²，
當(dāng)且僅當(dāng)$x+2y+3z=\sqrt{14}$且$x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{14}}}{14}}\\{y=\frac{{2\sqrt{14}}}{14}}\\{z=\frac{{3\sqrt{14}}}{14}}\end{array}}\right.$時(shí)取等，
故取等條件必須成立，此時(shí)x+y+z=$\frac{{3\sqrt{14}}}{7}$
（2）因?yàn)?\frac{3}{2}∈A$，且$\frac{1}{2}∉A$，所以$|{\frac{3}{2}-2}|＜a$，且$|{\frac{1}{2}-2}|≥a$
解得$\frac{1}{2}＜a≤\frac{3}{2}$，
又因?yàn)閍∈N^*，所以a=1
因?yàn)閨x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3
當(dāng)且僅當(dāng)（x+1）（x-2）≤0，即-1≤x≤2時(shí)取得等號，
所以f（x）的最小值為3

點(diǎn)評 本題考查柯西不等式，考查求函數(shù)的值域問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．