Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=-f（x），且x∈[0，2]時(shí)，f（x）=log₂（x+1），給出下列結(jié)論：
①f（3）=1；②函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)；③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；④若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上的所有根之和為-8．則其中正確的命題個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,推理和證明

分析：取x=-1，得f（3）=-f（1）=1；f（x+4）=f（-x），則f（x-2）=f（-x-2）；奇函數(shù)f（x），x∈[-2，2]時(shí)，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，利用函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，可得函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)；若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4個(gè)根，其中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，故可得結(jié)論．

解答： 解：取x=-1，得f（-1+4）=-f（-1）=f（1）=1，所以①正確；
奇函數(shù)f（x），x∈[0，2]時(shí)，f（x）=log₂（x+1），∴x∈[-2，2]時(shí)，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，∵函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，
∴函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)，故②不正確；
定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=-f（x），則f（x+4）=f（-x），∴f（x-2）=f（-x-2），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，故③不正確；
若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4個(gè)根，其中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，所以所有根之和為-8．故④正確
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．