Question

9．一個空間幾何體的三視圖及部分數(shù)據(jù)如圖（1）所示，直觀圖如圖（2）所示．
（1）求它的體積；
（2）證明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（3）若D是棱CC₁的中點，在棱AB上取中點E，判斷DE是否平行于平面AB₁C₁，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)棱柱的體積公式，求出該幾何體的體積；
（2）根據(jù)三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，得出BC⊥平面ACC₁A₁，從而證明A₁C⊥平面AB₁C₁；
（3）當E為棱AB的中點時，DE∥平面AB₁C₁，先證明平面DEF∥平面AB₁C₁，即可證明DE∥平面AB₁C₁．

解答 解：（1）四邊形BCC₁B₁是矩形，BB₁=CC₁=$\sqrt{3}$，BC=1，
且AA₁C₁C是邊長為$\sqrt{3}$的正方形，垂直于底面BB₁C₁C，
所以該幾何體的體積為V=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$；
（2）證明：因為∠ACB=90°，所以BC⊥AC，
又因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
所以BC⊥CC₁，
又因為AC∩CC₁=C，
所以BC⊥平面ACC₁A₁，
所以BC⊥A₁C；
又因為B₁C₁∥BC，
所以B₁C₁⊥A₁C，
又因為四邊形ACC₁A₁為正方形，
所以A₁C⊥AC₁，
又B₁C₁∩AC₁=C₁，
所以A₁C⊥平面AB₁C₁；
（3）當E為棱AB的中點時，DE∥平面AB₁C₁，
證明：如圖所示，
取BB₁的中點F，連接EF、FD、DE，
因為D、E、F分別是棱CC₁，AB和BB₁的中點，
所以EF∥AB₁，
又AB₁?平面AB₁C₁，EF?平面AB₁C₁，
所以EF∥平面AB₁C₁；
又FD∥B₁C₁，所以FD∥平面B₁C₁，
又EF∩FD=F，所以平面DEF∥平面AB₁C₁，
而DE?平面DEF，所以DE∥平面AB₁C₁．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應用問題，也考查了利用三視圖求幾何體的體積的應用問題，是綜合性題目．