Question

19．已知在直角坐標(biāo)系xoy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）求圓C的普通方程；
（Ⅱ）已知A（-2，0），B（0，2），圓C上任意一點M（x，y），求△ABM面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得圓C的普通方程．
（II）直線AB：x-y+2=0，點M（cosθ，sinθ）到直線AB的距離為$d=\frac{|cosθ-sinθ+2|}{{\sqrt{2}}}$，可得△ABM的面積，利用和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（I）圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），
利用平方關(guān)系可得：圓C的普通方程為x²+y²=1．
（II）直線AB：x-y+2=0，
點M（cosθ，sinθ）到直線AB的距離為$d=\frac{|cosθ-sinθ+2|}{{\sqrt{2}}}$，
△ABM的面積為
$\begin{array}{l}S=\frac{1}{2}×|AB|×d=|cosθ-sinθ+2|\\=|\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}-θ）+2|≤2+\sqrt{2}\end{array}$
∴△ABM面積的最大值為$2+\sqrt{2}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．