Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2alnx}{x+1}$+b在x=1處的切線方程為x+y-3=0．
（1）求a，b．
（2）證明：當(dāng)x＞0，且x≠1時(shí)，f（x）＞$\frac{2lnx}{x-1}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（1）=2，f′（1）=-1，求出a，b的值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為$\frac{x}{{x}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$-2lnx）＞0，令g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，（x＞0），求出g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而證出結(jié)論即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f（x）=$\frac{2alnx}{x+1}$+b，切點(diǎn)是（1，2），
∴f（1）=b=2，
f′（x）=$\frac{2a（1+\frac{1}{x}-lnx）}{{（x+1）}^{2}}$，
∴f′（1）=a=-1，
故a=-1，b=2；
（2）證明：由（1）得：f（x）=$\frac{-2lnx}{x+1}$+2，f（x）＞$\frac{2lnx}{x-1}$，
∴$\frac{x}{{x}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$-2lnx）＞0，
令g（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，（x＞0），
則g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x-1）²＞0，
∴g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞增，
∵g（1）=0，∴g（x）＞0?x＞1，g（x）＜0?0＜x＜1，
∴x＞1時(shí)，$\frac{x}{{x}^{2}-1}$g（x）＞0，0＜x＜1時(shí)，$\frac{x}{{x}^{2}-1}$g（x）＞0，
x＞0且x≠1時(shí)，$\frac{x}{{x}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$-2lnx）＞0，
∴當(dāng)x＞0，且x≠1時(shí)，f（x）＞$\frac{2lnx}{x-1}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．