Question

14．已知函數(shù)y=2acos（2x-$\frac{π}{3}$）+b的定義域是[0，$\frac{π}{2}$]，值域是[-5，1]，求a、b的值．

Answer 1

分析 由$x∈[0，\frac{π}{2}]$求出$2x-\frac{π}{3}$的范圍，由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出cos（2x-$\frac{π}{3}$）的值域，根據(jù)解析式對a分類討論，由原函數(shù)的值域分別列出方程組，求出a、b的值．

解答 解：由$x∈[0，\frac{π}{2}]$得，$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴cos（2x-$\frac{π}{3}$）$∈[-\frac{1}{2}，1]$，
當(dāng)a＞0時，∵函數(shù)的值域是[-5，1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a×1+b=1}\\{2a×（-\frac{1}{2}）+b=-5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
當(dāng)a＜0時，∵函數(shù)的值域是[-5，1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a×1+b=-5}\\{2a×（-\frac{1}{2}）+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
綜上可得，$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題主要考查了余弦函數(shù)的定義域和值域，以及分類討論思想，屬于中檔題．