Question

9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，BD交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：CD²-DE²=AE•EC；
（2）若CD的長(zhǎng)等于⊙O的半徑，求∠ACD的大�。�

Answer 1

分析 （1）證明△BCD∽△CDE，得出CD²=DE•DB，再利用DE•DB=DE•（DE+BE）即可證明結(jié)論成立；
（2）連接OC、OD，利用等邊△OCD，即可求出∠ACD的大�。�

解答 解：（1）證明：∵∠ABD=∠CBD，∠ABD=∠ECD，
∴∠CBD=∠ECD，
又∠CDB=∠EDC，
∴△BCD∽△CDE，
∴$\frac{DE}{DC}$=$\frac{DC}{DB}$，
∴CD²=DE•DB；
又DE•DB═DE•（DE+BE）=DE²+DE•BE，且DE•BE=AE•EC，
∴CD²-DE²=AE•EC；
（2）如圖所示，

連接OC、OD，
由題意知△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠COD=30°，
∴∠ACD=∠CBD=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了與圓有關(guān)的線段成比例的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了等邊三角形的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．