Question

6．已知二次函數(shù)y=-x²+4x-3，當(dāng)x＞-1時(shí)，不等式f（x）-1≤（x+1）f（b）恒成立，求實(shí)數(shù)b的最大值．

Answer 1

分析 令x+1=t（t＞0），則原不等式即為-（t-1）²+4（t-1）-4≤tf（b），化簡(jiǎn)可得f（b）≥6-（t+$\frac{9}{t}$）恒成立，運(yùn)用基本不等式求得右邊的最大值為0，再由二次不等式的解法即可得到b的最大值．

解答 解：令x+1=t（t＞0），則
不等式f（x）-1≤（x+1）f（b）即為-（t-1）²+4（t-1）-4≤tf（b），
化簡(jiǎn)可得f（b）≥6-（t+$\frac{9}{t}$）恒成立，
由t+$\frac{9}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{9}{t}}$=6，當(dāng)且僅當(dāng)t=3取得等號(hào)，
即有t=3時(shí)，6-（t+$\frac{9}{t}$）取得最大值，且為6-6=0，
則有f（b）≥0，即為-b²+4b-3≥0，
解得1≤b≤3．
即有b的最大值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的恒成立問(wèn)題，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用，以及二次不等式的解法，屬于中檔題．