Question

12．已知圓C₁：x²+y²-$\frac{2}{\sqrt{a}}$x+$\frac{1}{a}$-$\frac{9}{4}$=0，C₂：x²+y²-$\frac{2}{\sqrt}$y+$\frac{1}$-$\frac{1}{4}$=0，其中a＞0，b＞0，a+b=1，則兩圓公切線有多少條（　　）

• A． 1條或者3條
• B． 1條或者2條
• C． 2條或者3條
• D． 4條或者3條

Answer 1

分析 求出兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合基本不等式，判斷圓心距與半徑和的關(guān)系，進(jìn)而可判斷兩圓的位置關(guān)系，進(jìn)而得到兩圓公切線的條數(shù)．

解答 解：圓C₁：x²+y²-$\frac{2}{\sqrt{a}}$x+$\frac{1}{a}$-$\frac{9}{4}$=0的圓心坐標(biāo)為C₁（$\frac{1}{\sqrt{a}}$，0），半徑r=$\frac{3}{2}$，
圓C₂：x²+y²-$\frac{2}{\sqrt}$y+$\frac{1}$-$\frac{1}{4}$=0的圓心坐標(biāo)為C₂（0，$\frac{1}{\sqrt}$），半徑R=$\frac{1}{2}$，
則|C₁C₂|=$\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}}$=$\sqrt{（\frac{1}{a}+\frac{1}）（a+b）}$=$\sqrt{2+（\frac{a}+\frac{a}）}$≥$\sqrt{2+2\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}}$=2=r+R，
當(dāng)且令當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
故兩圓外切或相離，
故兩圓公切線有4條或者3條，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩圓之間的位置關(guān)系，基本不等式，是基本不等式與圓的綜合應(yīng)用，難度中檔．