Question

17．已知函數(shù)f（x）=（a-1）x³+x²+（b-4）x+c為偶函數(shù)．則求函數(shù)g（x）=ax²+bx在區(qū)間[c，c+1]的值域．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)可得a，b的值，進而得到函數(shù)g（x）的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論，可得不同情況下函數(shù)的值域．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（a-1）x³+x²+（b-4）x+c為偶函數(shù)．
∴f（-x）=f（x），
即-（a-1）x³+x²-（b-4）x+c=（a-1）x³+x²+（b-4）x+c，
解得：a=1，b=4，
∴函數(shù)g（x）=x²+4x的圖象是開口朝上，且以直線x=-2為對稱軸的拋物線，
①若c+1＜-2，即c＜-3，則函數(shù)g（x）=x²+4x在區(qū)間[c，c+1]上為減函數(shù)，
當x=c時，函數(shù)取最大值c²+4c；當x=c+1時，函數(shù)取最小值c²+6c+5；
此時函數(shù)的值域為：[c²+6c+5，c²+4c]，
②若$\frac{c+（c+1）}{2}$≤-2≤c+1，即-3≤c≤$-\frac{5}{2}$，則函數(shù)g（x）=x²+4x在區(qū)間[c，-2]上為減函數(shù)，在區(qū)間[-2，c+1]上為增函數(shù)，
當x=c時，函數(shù)取最大值c²+4c；當x=-2時，函數(shù)取最小值-4，
此時函數(shù)的值域為：[-4，c²+4c]，
③若c≤-2＜$\frac{c+（c+1）}{2}$，即$-\frac{5}{2}$＜c≤-2，則函數(shù)g（x）=x²+4x在區(qū)間[c，-2]上為減函數(shù)，在區(qū)間[-2，c+1]上為增函數(shù)，
當x=c+1時，函數(shù)取最大值c²+6c+5；當x=-2時，函數(shù)取最小值-4，
此時函數(shù)的值域為：[-4，c²+6c+5]，
④若c＞-2，則函數(shù)g（x）=x²+4x在區(qū)間[c，c+1]上為增函數(shù)，
當x=c+1時，函數(shù)取最大值c²+6c+5；當x=c時，函數(shù)取最小值c²+4c；
此時函數(shù)的值域為：[c²+4c，c²+6c+5]．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關鍵．