Question

2．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁，a₃的等差中項(xiàng)為34，a₂，a₄的等差中項(xiàng)為136．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）記b_n=1+log₂a_n，求數(shù)列$\{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}\}$的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，即可得到所求通項(xiàng)；
（Ⅱ）求得b_n=1+2n，即有$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₁，a₃的等差中項(xiàng)為34，可得
a₁+a₃=68，即為a₁+a₁q²=68，
由a₂，a₄的等差中項(xiàng)為136，可得
a₂+a₄=272，即為a₁q+a₁q³=272，
解方程可得a₁=q=4，
即有數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁q^n-1=4ⁿ；
（Ⅱ）b_n=1+log₂a_n=1+log₂4ⁿ=1+2n，
即有$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
則前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{n}{3（2n+3）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．