Question

15．已知奇函數(shù)f（x）的定義域為R，當(dāng)x＞0時，f（x）=2x-x²，若x∈[a，b]時，函數(shù)f（x）的值域為[$\frac{1}$，$\frac{1}{a}$]，則ab=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件求出x＜0時的解析式，從而求出f（x）在R上的解析式．根據(jù)題意知道a＜0，b＞0，并且a是x＜0時f（x）的圖象與y=$\frac{1}{x}$圖象的交點橫坐標(biāo)，b是x＞0時f（x）圖象與y=$\frac{1}{x}$圖象交點的橫坐標(biāo)，所以解方程即可求出a，b．

解答 解：∵當(dāng)x＞0時，f（x）=2x-x²，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=-2x-x²=-f（x）；
∴f（x）=x²+2x；
∴函數(shù)f（x）的圖象如下：

∵b＞a，若a，b異號，則$\frac{1}$＞$\frac{1}{a}$，不符合已知條件，
∴只能a＜b＜0，或0＜a＜b，
當(dāng)0＜a＜b時，由x＞0時，f（x）=2x-x²的最大值為1，
故$\frac{1}{a}$≤1，即1≤a＜b，
此時函數(shù)f（x）=2x-x²為減函數(shù)，
則f（a）=2a-a²=$\frac{1}{a}$，且f（b）=2b-b²=$\frac{1}$，
即a，b是f（x）=2x-x²與y=$\frac{1}{x}$圖象的交點橫坐標(biāo)，
解2x-x²=$\frac{1}{x}$得：x=1或x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
即a=1或b=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，ab=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
同理當(dāng)a＜b＜0時，ab=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
綜上所述：ab=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

點評 考查根據(jù)條件求函數(shù)解析式，分段函數(shù)及分段函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象，奇函數(shù)的定義．