Question

2．△ABC中，∠A=60°，b=1，面積為$\sqrt{2}$，$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{35-4\sqrt{6}}$．．

Answer 1

分析 先利用面積公式求出邊c，再利用余弦定理求出a，再由正弦定理求解比值即可得解．

解答 解：∵∠A=60°，b=1，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{2}$，可解得：c=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=1+$\frac{32}{3}$-2×$1×\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}×\frac{1}{2}$=$\frac{35-4\sqrt{6}}{3}$，
∴由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$可得：$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{\frac{35-4\sqrt{6}}{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{35-4\sqrt{6}}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$$\sqrt{35-4\sqrt{6}}$．

點評 本題的考點是正弦定理，主要考查正弦定理的運用，關(guān)鍵是利用面積公式，求出邊，再利用正弦定理求解，屬于基本知識的考查．