Question

20．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是棱BC，CC₁上不與正方體頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，用平面AMN截正方體，下列關(guān)于截面的說(shuō)法正確的有①②．
①若BM=C₁N，則截面為等腰梯形
②若BM=CM，且$CN＞\frac{1}{2}C{C_1}$時(shí)，截面為五邊形
③截面的面積存在最大值
④截面的面積存在最小值．

Answer 1

分析 畫出正方體，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)M，N的不同位置動(dòng)點(diǎn)不同 的截面；M，N分別是棱BC，CC₁上不與正方體頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，考慮極限位置時(shí) 的截面形狀以及面積極限判斷．

解答 解：對(duì)于①，如圖1，若BM=C₁N，
則MN∥AD₁，D₁N=AM，截面AMND₁為等腰梯形，故①正確；
對(duì)于②，如圖2，若BM=CM，且$CN＞\frac{1}{2}C{C_1}$時(shí)，
設(shè)截面與棱C₁D₁的交點(diǎn)為R，
延長(zhǎng)DD₁，使DD₁∩NR=N₁，連接AN₁交A₁D₁于S，連接SR，
可證AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，
可得C₁R：D₁R=C₁N：D₁N₁，截面為五邊形故②正確；
對(duì)于③，當(dāng)BM=C₁N→0時(shí)，過(guò)點(diǎn)A，M，N的截面→矩形，其面積接近最大，
∵M(jìn)，N分別是棱BC，CC₁上不與正方體頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，
∴BM=C₁N≠0，∴截面的面積不存在最大值，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，當(dāng)BM→BC時(shí)CN→0時(shí)，截面→等邊三角形，邊長(zhǎng)為→$\sqrt{2}$，面積→$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又M，N分別是棱BC，CC₁上不與正方體頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，所以截面面積不存在最小值；故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體中線線關(guān)系以及截面形狀問(wèn)題；關(guān)鍵是考查空間想象能力；屬于中檔題．