Question

19．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=$\frac{{n}^{2}}{2n-1}$a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）將數(shù)列{a_n}的項(xiàng)按上小下大，左小右大的原則排列成一個(gè)如圖所示的三角形數(shù)陣，那么2015是否在該數(shù)陣中，若在，排在了第幾行第幾列？

Answer 1

分析 （Ⅰ）S_n=$\frac{{n}^{2}}{2n-1}$a_n，得n≥2時(shí)，${S}_{n-1}=\frac{（n-1）^{2}}{2n-1}{a}_{n-1}$，兩式相減整理得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2n-1}{2n-3}，（n≥2）$，由此利用累乘法能得到a_n=2n-1．
（Ⅱ）由a_n=2n-1=2015，則n=1008，求出前44行和前45行的值，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=$\frac{{n}^{2}}{2n-1}$a_n．
∴n≥2時(shí)，${S}_{n-1}=\frac{（n-1）^{2}}{2n-1}{a}_{n-1}$，
兩式相減整理得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2n-1}{2n-3}，（n≥2）$，
依次得$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{2n-3}{2n-5}$，$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$=$\frac{2n-5}{2n-7}$，…，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{5}{3}$，
上面n-2個(gè)等式相乘得$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{2n-1}{3}$，
而a₂=3，∴a_n=2n-1，n≥2，
a₁=1也滿足該式，∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）a_n=2n-1=2015，則n=1008，
前44行共1+2+3+…+44=$\frac{44（1+44）}{2}$=990，
前45行共1+2+3+…+45=990+45=1035，
∴2015應(yīng)在第45行，第1008-990=18列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加法的合理運(yùn)用．