Question

19．已知函數(shù)f（x）=log_acos（2x-$\frac{π}{3}$）（其中a＞0，且a≠1）．
（1）求它的定義域；
（2）求它的單調(diào)區(qū)間；
（3）判斷它的奇偶性；
（4）判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的周期．

Answer 1

分析 （1）可結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，解$cos（2x-\frac{π}{3}）＞0$便可得出f（x）的定義域為$（-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ），k∈Z$；
（2）可以看出原函數(shù)是由g（t）=log_at和t=$cos（2x-\frac{π}{3}）$復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，這樣根據(jù)余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性便可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）可以看出f（x）的定義域不關(guān)于原點對稱，從而得出f（x）為非奇非偶函數(shù)；
（4）由$y=cos（2x-\frac{π}{3}）$為周期函數(shù)，且周期為π便可判斷f（x）的周期性，并可得出它的周期．

解答 解：（1）解$cos（2x-\frac{π}{3}）＞0$得，$-\frac{π}{2}+2kπ＜2x-\frac{π}{3}＜\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$；
∴$-\frac{π}{12}+kπ＜x＜\frac{5π}{12}+kπ，k∈Z$；
∴f（x）的定義域為$（-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ），k∈Z$；
（2）設(shè)$t=cos（2x-\frac{π}{3}）$，g（t）=log_at；
解$-\frac{π}{2}+2kπ＜2x-\frac{π}{3}≤0+2kπ$得，$-\frac{π}{12}+kπ＜x≤\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z；
解$0+2kπ＜2x-\frac{π}{3}＜\frac{π}{2}+2kπ$得，$\frac{π}{6}+kπ＜x＜\frac{5π}{12}+kπ，k∈Z$；
∴t=$cos（2x-\frac{π}{3}）$在$（-\frac{π}{12}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]$上單調(diào)遞增，在$（\frac{π}{6}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ）$上單調(diào)遞減；
①若a＞1，則g（t）為增函數(shù)；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$（-\frac{π}{12}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]$，k∈Z，單調(diào)減區(qū)間為$（\frac{π}{6}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ）$，k∈Z；
②若0＜a＜1，則g（t）為減函數(shù)；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（\frac{π}{6}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ），k∈Z$，單調(diào)減區(qū)間為$（-\frac{π}{12}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]，k∈Z$；
（3）f（x）的定義域不關(guān)于原點對稱，∴為非奇非偶函數(shù)；
（4）$y=cos（2x-\frac{π}{3}）$為周期函數(shù)，周期為π；
∴f（x）為周期函數(shù)，周期為π．

點評 考查余弦函數(shù)的圖象和周期，解$cos（2x-\frac{π}{3}）＞0$可結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，函數(shù)定義域的概念及求法，余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域的特點，以及周期函數(shù)的定義，函數(shù)y=Acos（ωx+φ）周期的計算公式．