Question

4．連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點(diǎn)數(shù)為a_i，若存在正整數(shù)k，使a₁+a₂+…+a_k=6，則稱k為你的幸運(yùn)數(shù)字．
（1）求你的幸運(yùn)數(shù)字為3的概率；
（2）若k=1，則你的得分為5分；若k=2，則你的得分為3分；若k=3，則你的得分為1分；若拋擲三次還沒(méi)找到你的幸運(yùn)數(shù)字則記0分，求得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“連續(xù)拋擲k次骰子的和為6”為事件A，則它包含事件A₁，A₂，A₃，其中，A₁：三次恰好均為2；A₂：三次恰好1，2，3各一次；A₃：三次中有兩次均為1，一次為4，由此利用互斥事件概率加法公式能求出你的幸運(yùn)數(shù)字為3的概率．
（2）由已知得X的可能取值為6，4，2，0，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）設(shè)“連續(xù)拋擲k次骰的和為6”為事件A，則它包含事件A₁，A₂，A₃，
其中，A₁：三次恰好均為2；A₂：三次恰好1，2，3各一次；A₃：三次中有兩次均為1，一次為4，
A₁，A₂，A₃為互斥事件，
∴你的幸運(yùn)數(shù)字為3的概率：
P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）
=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{6}）^{3}+{C}_{3}^{1}•\frac{1}{6}•{C}_{2}^{1}•\frac{1}{6}•{C}_{1}^{1}•\frac{1}{6}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{6}）^{2}•\frac{1}{6}$=$\frac{5}{108}$．
（2）由已知得X的可能取值為5，3，1，0，
P（X=5）=$\frac{1}{6}$，
P（X=3）=$（\frac{1}{6}）^{2}+{C}_{2}^{2}•\frac{1}{6}•\frac{1}{6}+{C}_{2}^{1}•\frac{1}{6}•\frac{1}{6}$=$\frac{5}{36}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{6}）^{3}+{C}_{3}^{1}•\frac{1}{6}•{C}_{2}^{1}•\frac{1}{6}•{C}_{1}^{1}•\frac{1}{6}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{6}）^{2}•\frac{1}{6}$=$\frac{5}{108}$，
P（X=0）=1-$\frac{1}{6}-\frac{5}{36}-\frac{5}{108}$=$\frac{35}{54}$，
∴X的分布列為：

X	5	3	1	0
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{5}{108}$	$\frac{35}{54}$

EX=$5×\frac{1}{6}+3×\frac{5}{36}+1×\frac{5}{108}+0×\frac{35}{54}$=$\frac{35}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．