Question

11．在三角形ABC中，角角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a+c=2b=2，a=2sinA，則此三角形的面積S_△ABC=$\frac{1}{4}$（6-3$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 運(yùn)用正弦定理，可得sinB=$\frac{1}{2}$，由同角的平方關(guān)系可得cosB，運(yùn)用余弦定理，可得ac，再由三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}$acsinB，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：a+c=2b=2，可得b=1，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=2，
即有sinB=$\frac{1}{2}$，
由b為等差中項(xiàng)，則B不為鈍角，
可得cosB=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
即為1=（a+c）²-2ac（1+cosB），
即有ac=6-3$\sqrt{3}$，
可得三角形的面積為S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{4}$（6-3$\sqrt{3}$）．
故答案為：$\frac{1}{4}$（6-3$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的面積的求法，注意運(yùn)用正弦定理和余弦定理，以及面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．