Question

7．已知函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）及B（$\frac{π}{2}$，1）．
（1）已知b＞0，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，|f（x）|≤2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由已知列式得到b，c與a的關(guān)系，把函數(shù)解析式用含有a的代數(shù)式表示．
（1）直接利用與正弦函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，則y=$\sqrt{2}（1-a）t+a$，由x得范圍得到t的范圍，然后對1-a＞0、1-a=0、1-a＜0分類討論求解得答案．

解答 解：由題意可得，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=a+b=1}\\{f（\frac{π}{2}）=a+c=1}\end{array}\right.$，則b=c=1-a，
∴f（x）=（1-a）（sinx+cosx）+a=$\sqrt{2}（1-a）sin（x+\frac{π}{4}）+a$．
（1）∵1-a=b＞0，由$2kπ+\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，得：
$2kπ+\frac{π}{4}≤x≤2kπ+\frac{5π}{4}，k∈Z$，
∴f（x）的遞減區(qū)間為[$2kπ+\frac{π}{4}，2kπ+\frac{5π}{4}$]，k∈Z；
（2）設(shè)sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，則y=$\sqrt{2}（1-a）t+a$，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴x+$\frac{π}{4}∈$（$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$），則t∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]，
①當(dāng)1-a＞0時，f（x）∈（1，$\sqrt{2}（1-a）+a$]，此時|f（x）|≤2恒成立，只需$\sqrt{2}（1-a）+a≤2$，得a∈[$-\sqrt{2}$，1）；
②當(dāng)1-a=0時，f（x）=1，滿足題意；
②當(dāng)1-a＜0時，f（x）∈[$\sqrt{2}（1-a）+a，1$），此時|f（x）|≤2恒成立，只需$\sqrt{2}（1-a）+a≥-2$，得a∈（1，4+3$\sqrt{2}$]．
綜上所述，a的取值范圍為[$-\sqrt{2}，4+3\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)值的恒等變換應(yīng)用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了函數(shù)恒成立問題的求解方法，是中檔題．