Question

19．已知f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+1），0≤x＜1}\\{|x-3|，x≥1}\end{array}\right.$，則函數(shù)y=f（x）-$\frac{1}{2}$的所有零點之和是（　�。�

• A． 5+$\sqrt{2}$
• B． 1-$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． 5-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得函數(shù)y=f（x）-$\frac{1}{2}$的所有零點即方程f（x）=$\frac{1}{2}$的根，分x≥0與x≤0兩種情況分析求出方程f（x）=$\frac{1}{2}$的根，將其相加即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)y=f（x）-$\frac{1}{2}$的所有零點即方程f（x）=$\frac{1}{2}$的根，
當(dāng)x≥0時，若f（x）=$\frac{1}{2}$，
則有l(wèi)og₂（x+1）=$\frac{1}{2}$（0≤x＜1）或|x-3|=$\frac{1}{2}$（x≥1），
解可得x=$\sqrt{2}$-1或$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{2}$，
當(dāng)x≤0時，若f（x）=$\frac{1}{2}$，有f（-x）=-f（x）=-$\frac{1}{2}$，
即log₂（-x+1）=-$\frac{1}{2}$（-1＜x≤0）或|-x-3|=-$\frac{1}{2}$（x≤-1），
此時無解；
則函數(shù)y=f（x）-$\frac{1}{2}$的所有零點之和是（$\sqrt{2}$-1）+$\frac{5}{2}$+$\frac{7}{2}$=5+$\sqrt{2}$，
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)零點的計算，關(guān)鍵是利用奇函數(shù)的性質(zhì)分析．