Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，x＞a}\\{-{x}^{2}+2x+b，x≤a}\end{array}\right.$其中a≥0，b∈R．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，若函數(shù)y=f（x）-c有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）當(dāng)b=-2，若對(duì)任意的x₁、x₂∈R，都有f（x₁）＜f（x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}xlnx，x＞0\\-{x}^{2}+2x+b，x≤0\end{array}\right.$，利用導(dǎo)數(shù)法求出切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率，代入點(diǎn)斜式方程，可得答案；
（2）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，若函數(shù)y=f（x）-c有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=c有兩個(gè)交點(diǎn)，利用圖象法可分析出實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（3）當(dāng)b=-2，若對(duì)任意的x₁、x₂∈R，都有f（x₁）＜f（x₂），則函數(shù)f（x）在定義域R為增函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫出y=xlnx，和y=-x²+2x-2的圖象，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}xlnx，x＞0\\-{x}^{2}+2x+b，x≤0\end{array}\right.$，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，
由f（1）=0，f′（1）=1得：切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），切線斜率為1，
故切線方程為：y=x-1；
（2）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}xlnx，x＞1\\-{x}^{2}+2x+1，x≤1\end{array}\right.$，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；
當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=-x²+2x+1，f′（x）=-2x+2＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；
故函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

若函數(shù)y=f（x）-c有兩個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=c有兩個(gè)交點(diǎn)，
則c∈（0，2]，
（3）當(dāng)b=-2，若對(duì)任意的x₁、x₂∈R，都有f（x₁）＜f（x₂），
則函數(shù)f（x）在定義域R為增函數(shù)，
在同一坐標(biāo)系中畫出y=xlnx，和y=-x²+2x-2的圖象如下圖所示：
，
則有a∈[$\frac{1}{e}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上的某點(diǎn)的切線方程，是導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．