Question

5．已知甲、乙兩名籃球運動員每次投籃命中的概率分別為$\frac{1}{2}$、p，甲、乙每次投籃是否投中相互之間沒有影響，乙投籃3次均未命中的概率為$\frac{1}{27}$．
（1）求p的值；
（2）若甲投籃1次、乙投籃2次，兩人投籃命中的次數(shù)的和記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）

Answer 1

分析 （1）服從B（3，p）獨立重復(fù)試驗，利用概率公式求解即可．
（2）確定X=0，1，2，3，分析得出當x=0時，甲，乙兩人投籃命中次數(shù)都為0，當x=1時，甲，乙兩人投籃命中次數(shù)為0，1或1，0；當x=2時，甲，乙兩人投籃命中次數(shù)為1，1．或0，2；當x=3時，甲，乙兩人投籃命中次數(shù)為1，2；利用獨立事件同時發(fā)生的概率求解即可．

解答 解：（1）服從B（3，p）獨立重復(fù)試驗
根據(jù)題意得出：${C}_{3}^{3}$p³（1-P）⁰=$\frac{1}{27}$，
∴p=$\frac{1}{3}$，
（2）X=0，1，2，3
當x=0時，甲，乙兩人投籃命中次數(shù)都為0，
P（X=0）=（1-$\frac{1}{2}$）×${C}_{2}^{2}$（1-$\frac{1}{3}$）²=$\frac{2}{9}$，
當x=1時，甲，乙兩人投籃命中次數(shù)為0，1或1，0．
P（X=1）=（1-$\frac{1}{2}$）×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}×$${C}_{2}^{2}$（1-$\frac{1}{3}$）²=$\frac{2}{9}$$+\frac{2}{9}$=$\frac{4}{9}$，
當x=2時，甲，乙兩人投籃命中次數(shù)為1，1．或0，2
P（X=2）=$\frac{1}{2}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{3}$）+（1-$\frac{1}{2}$）×${C}_{2}^{2}$（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{2}{9}$$+\frac{1}{18}$=$\frac{5}{18}$，
當x=3時，甲，乙兩人投籃命中次數(shù)為1，2．
P（X=3）=$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{18}$，

X	0	1	2	3
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{18}$

E（X）=0×$\frac{2}{9}$$+1×\frac{4}{9}$+2×$\frac{5}{18}$$+3×\frac{1}{18}$=$\frac{7}{6}$．

點評 本題考查了離散型的概率求解，分布列，數(shù)學(xué)期望，考查了學(xué)生的閱讀分析問題的能力，計算能力，屬于中檔題．