Question

2．已知A是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，a），若線段AP的中點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率e為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 求得A的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q的坐標(biāo)，代入橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，運(yùn)用離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A（-a，0），P（0，a），
AP的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），
由中點(diǎn)Q在橢圓上，可得：
$\frac{{a}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{4^{2}}$=1，
即有a²=3b²，
由c²=a²-b²=$\frac{2}{3}$a²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，屬于中檔題．