Question

7．籃球比賽時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的進(jìn)攻成功率=投球命中率×不被對(duì)方運(yùn)動(dòng)員的攔截率．某運(yùn)動(dòng)員在距球籃10米（指到籃圈圓心在地面上射影的距離）以內(nèi)的投球命中率有如下變化：距球籃1米以內(nèi)（不含1米）為100%．距離球籃x米處，命中率下降至100%-10%[x]．該運(yùn)動(dòng)員投球被攔截率為$\frac{90%}{[x]+1}（{[x]為實(shí)數(shù)x的整數(shù)部分，如[{3.4}]=3}）$．試求該運(yùn)動(dòng)員在比賽時(shí)：（結(jié)果精確到1%）
（1）在三分線（約距球籃6.72米）處的進(jìn)攻成功率為多少？
（2）在距球籃幾米處的進(jìn)攻成功率最大，最大進(jìn)攻成功率為多少？

Answer 1

分析 （1）由已知條件分別求出投籃命中率、投籃不被攔截率及該運(yùn)動(dòng)員的進(jìn)攻率，由此能求出在三分線（約距球籃6.72米）處的進(jìn)攻成功率．
（2）由已知條件利用均值定理能求出在距球籃幾米處的進(jìn)攻成功率最大，并能求出最大進(jìn)攻成功率．

解答 解：（1）依題意，投籃命中率為100%-10%[x]，投籃不被攔截率為$1-\frac{90%}{[x]+1}$；
故該運(yùn)動(dòng)員的進(jìn)攻率（設(shè)為y）為y=（1-$\frac{90%}{[x]+1}$）（100%-10%[x]）=$（1-\frac{90%}{[x]+1}）（1-0.1[x]）$
設(shè)[x]+1=t，則[x]=t-1，y=（1-$\frac{0.9}{t}$）（1.1-0.1t）=1.19-（0.1t+$\frac{0.99}{t}$），
當(dāng)x=6.72時(shí)，t=[6.72]+1=7，y≈0.35=35%．
（2）∵$0.1t+\frac{0.99}{t}≥2\sqrt{0.1t•\frac{0.99}{t}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$0.1t=\frac{0.99}{t}$，即t≈3.15取等號(hào)．
但t∈N^*，∴t=3或4時(shí)，y可能有最大值，當(dāng)t=3時(shí)，y=0.56，當(dāng)t=4時(shí)，y=0.54，
∴當(dāng)t=3時(shí)，y有最大值0.56，這時(shí)[x]=2，即2≤x＜3．
答：在三分線處進(jìn)攻率為35%，在距離球籃2至3米的進(jìn)攻成功率最大，最大成功率為56%．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率在生產(chǎn)生活中的實(shí)際運(yùn)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．